En series de tiempo, las variables suelen presentar un sentido o tendencia que las hace "no-estacionarias", es decir dependientes del tiempo. Para remover la misma es común analizar la serie en diferencias (si la tendencia es estocástica), o utilizar
los residuos de una regresión de la serie con la
variable tiempo como explicativa (si la tendencia es determinística).
Sin embargo, muchas veces en lugar de remover la tendencia resulta de interés estimar la misma. En macroeconomía, por ejemplo, la tendencia del PIB se interpreta como el PIB potencial y la diferencia de la serie respecto a esta tendencia se entiende como la brecha del producto. Para estos fines un método estadístico frecuentemente utilizado es el famoso filtro Hodrick-Prescott (fHP), técnica que permite descomponer una serie en una tendencia estocástica (que cambia en el tiempo) y en un componente cíclico (que representa las fluctuaciones de corto plazo).
El fHP (Hodrick y Prescott, 1980, 1997) destaca porque ha sobrevivido en el tiempo los argumentos de investigaciones que observaban sus propiedades y se ha constituido en una herramienta convencional en muchas áreas de la macroeconomía, especialmente en la economía de los ciclos reales. Actualmente, y probablemente a raíz del debate Bullard - Krugman del 2012, las propiedades del fHP nuevamente han cobrado relevancia como tema de análisis en la literatura. El presente post tiene el objeto de sistematizar algunas de estas conclusiones, el título resembla al del trabajo del profesor James Hamilton: "Why You Should Never Use the Hodrick-Prescott Filter" [link], el mismo que se constituyó en inspiración para la presente redacción. El post concluye intentando responder a la interrogante "Entonces, qué filtro deberíamos utilizar?".
Sin embargo, muchas veces en lugar de remover la tendencia resulta de interés estimar la misma. En macroeconomía, por ejemplo, la tendencia del PIB se interpreta como el PIB potencial y la diferencia de la serie respecto a esta tendencia se entiende como la brecha del producto. Para estos fines un método estadístico frecuentemente utilizado es el famoso filtro Hodrick-Prescott (fHP), técnica que permite descomponer una serie en una tendencia estocástica (que cambia en el tiempo) y en un componente cíclico (que representa las fluctuaciones de corto plazo).
El fHP (Hodrick y Prescott, 1980, 1997) destaca porque ha sobrevivido en el tiempo los argumentos de investigaciones que observaban sus propiedades y se ha constituido en una herramienta convencional en muchas áreas de la macroeconomía, especialmente en la economía de los ciclos reales. Actualmente, y probablemente a raíz del debate Bullard - Krugman del 2012, las propiedades del fHP nuevamente han cobrado relevancia como tema de análisis en la literatura. El presente post tiene el objeto de sistematizar algunas de estas conclusiones, el título resembla al del trabajo del profesor James Hamilton: "Why You Should Never Use the Hodrick-Prescott Filter" [link], el mismo que se constituyó en inspiración para la presente redacción. El post concluye intentando responder a la interrogante "Entonces, qué filtro deberíamos utilizar?".
a) El filtro de Hodrick-Prescott (fHP)
Para estimar la tendencia estocástica de una serie, el fHP minimiza la siguiente expresión
\[\mathop {\min }\limits_{\left\{ {Y_t^T} \right\}_{t = 1}^S} {\rm{ }}\left\{ {\sum\limits_{t = 1}^S {{{({Y_t} - Y_t^T)}^2}} + \lambda \sum\limits_{t = 2}^{S - 1} {{{(\Delta Y_{t + 1}^T - \Delta Y_t^T)}^2}} } \right\}\]
El primer término de la ecuación es la suma de las desviaciones de la serie (\({Y_t}\)) respecto a la tendencia (\(Y_t^T\)) al cuadrado, una medida del grado de ajuste. El segundo término es la suma de cuadrados de las segundas diferencias de la tendencia, una medida del grado de suavidad o curvatura de la serie. El parámetro de suavizamiento de la tendencia es lambda (λ), cuando λ→∞ la tendencia \({Y_t^T}\) es más suave (menos irregular), prácticamente lineal, y cuando λ→0 entonces \({Y_t^T}→{Y_t}\) El componente cíclico será \(Y_t^C = Y_t^{} - Y_t^T\).Simplificadamente, la solución al problema de minimización puede expresarse como: \(Y_t^T = \Psi {Y_t}\), es decir la tendencia es una función \(\Psi\), una combinación lineal de los valores de la serie \({Y_t}\). Por ello, la tendencia suele también ser expresada como un promedio ponderado de la serie \(Y_t^T = \sum {{w_t}{Y_t}}\). Existen muchas expresiones desarrolladas para \(\Psi\), al respecto se debe destacar que la misma es generalmente una función del parámetro de suavizamiento (λ), y de operadores rezago \(({L^i}\)) y de adelanto \(({F^i}\)) aplicadas a la serie original [nótese por ejemplo que \({L^2}Y = {Y_{t - 2}}\) y que \({F^2}Y = {Y_{t + 2}}\)]. Por ello, el fHP es caracterizado en la literatura como un filtro simétrico que considera valores futuros y pasados de una serie para predecir su tendencia y ciclos.
b) Evaluación de las propiedades del filtro de Hodrick-Prescott
b1) Primera generación de críticas
-Entre los primeros trabajos que revisaron las propiedades del fHP se tiene el de King y Rebelo (1993) y el de Cogley y Nason (1995). Ambos trabajos sugieren que el fHP produce ciclos espurios en series con tendencia determinística o estocástica, y que el análisis multivariado de datos filtrados mediante el fHP puede mostrar autocorrelaciones y correlaciones cruzadas significativas aún cuando las mismas sean inexistente en los datos originales. De igual manera, Meyer y Winker (2005) a través de simulaciones sugieren un alto riesgo de regresiones espurias con series filtradas por el fHP.
-Por su parte, Mise et. al. (2005), destacan el hecho que el fHP considera valores futuros y pasados de una serie para sus estimaciones. Así, la ausencia de éstos valores en los puntos iniciales y finales de una serie, "los extremos", hace subóptima las estimaciones del fHP en estos puntos. Estos autores, a su vez sugieren lo que se constituyó en una práctica común: utilizar predicciones de la serie para lidiar con la ausencia de información en los extremos. Nótese que el sesgo en el extremo final de una serie imposibilita la aplicación del fHP para realizar análisis en tiempo real; véase Orphanides y van Norden (2002).
-Otro aspecto que genera controversia en el uso del fHP es el valor óptimo del factor de suavizamiento λ. A partir del trabajo de Ravn y Uhlig (2002) el valor λ=1600 para datos trimestrales se estableció como parámetro convencional; mientras que para series mensuales o anuales no existe aún consenso; véase de Jong y Sakarya (2016a). La crítica al respecto plantea la necesidad de utilizar valores de λ que se adecuen a las características intrínsecas de las series y que éstas no se basen solamente en la frecuencia de los datos.
b2) El debate Bullard vs. Krugman
-Entre los primeros trabajos que revisaron las propiedades del fHP se tiene el de King y Rebelo (1993) y el de Cogley y Nason (1995). Ambos trabajos sugieren que el fHP produce ciclos espurios en series con tendencia determinística o estocástica, y que el análisis multivariado de datos filtrados mediante el fHP puede mostrar autocorrelaciones y correlaciones cruzadas significativas aún cuando las mismas sean inexistente en los datos originales. De igual manera, Meyer y Winker (2005) a través de simulaciones sugieren un alto riesgo de regresiones espurias con series filtradas por el fHP.
-Por su parte, Mise et. al. (2005), destacan el hecho que el fHP considera valores futuros y pasados de una serie para sus estimaciones. Así, la ausencia de éstos valores en los puntos iniciales y finales de una serie, "los extremos", hace subóptima las estimaciones del fHP en estos puntos. Estos autores, a su vez sugieren lo que se constituyó en una práctica común: utilizar predicciones de la serie para lidiar con la ausencia de información en los extremos. Nótese que el sesgo en el extremo final de una serie imposibilita la aplicación del fHP para realizar análisis en tiempo real; véase Orphanides y van Norden (2002).
-Otro aspecto que genera controversia en el uso del fHP es el valor óptimo del factor de suavizamiento λ. A partir del trabajo de Ravn y Uhlig (2002) el valor λ=1600 para datos trimestrales se estableció como parámetro convencional; mientras que para series mensuales o anuales no existe aún consenso; véase de Jong y Sakarya (2016a). La crítica al respecto plantea la necesidad de utilizar valores de λ que se adecuen a las características intrínsecas de las series y que éstas no se basen solamente en la frecuencia de los datos.
b2) El debate Bullard vs. Krugman
Calculando la tendencia del PIB con el fHP, el entonces y actual presidente del Banco de la Reserva Federal de San Luis, James Bullard, sostenía en 2012 que la economía estadounidense se encontraba cerca de su nivel potencial [link]. Así, los efectos de la burbuja inmobiliaria y la crisis financiera sobre este país se habían terminado y no había necesidad de implementar políticas fiscales o monetarias expansivas.
Una de las respuestas al debate, la de Paul Krugman [link], se concentraba en la pertinencia de la técnica utilizada para tal conclusión. Bajo el argumento de que "una técnica estadística es apropiada sólo si los supuestos subyacentes detrás de esa técnica reflejan la realidad económica", Krugman destaca que en el fHP, las desviaciones respecto a la tendencia son asumidas como de corto plazo, así éstas tienden a corregirse rápidamente. Esta afirmación se basa en la expresión \(Y_t^T = \sum {{w_t}{Y_t}}\) dónde los valores futuros tienen participación en la estimación de la tendencia. En este marco, como destaca Krugman, en el caso de una caída sostenida del producto, en cada período ésta es asumida por el fHP como de corto plazo estimando una tendencia de largo plazo a la baja. Así, por la naturaleza del filtro en épocas de recesiones no sería sorprendente encontrar períodos en los que una economía se encuentre por encima o cerca de su nivel potencial, esto simplemente debido a que el fHP bajó la tendencia.
Probablemente fruto de este debate resurge en la literatura la necesidad de conocer con más detalle las propiedades del FHP, dando lugar a lo que llamaremos la segunda generación de críticas.
b3) Segunda generación de críticas
Una de las respuestas al debate, la de Paul Krugman [link], se concentraba en la pertinencia de la técnica utilizada para tal conclusión. Bajo el argumento de que "una técnica estadística es apropiada sólo si los supuestos subyacentes detrás de esa técnica reflejan la realidad económica", Krugman destaca que en el fHP, las desviaciones respecto a la tendencia son asumidas como de corto plazo, así éstas tienden a corregirse rápidamente. Esta afirmación se basa en la expresión \(Y_t^T = \sum {{w_t}{Y_t}}\) dónde los valores futuros tienen participación en la estimación de la tendencia. En este marco, como destaca Krugman, en el caso de una caída sostenida del producto, en cada período ésta es asumida por el fHP como de corto plazo estimando una tendencia de largo plazo a la baja. Así, por la naturaleza del filtro en épocas de recesiones no sería sorprendente encontrar períodos en los que una economía se encuentre por encima o cerca de su nivel potencial, esto simplemente debido a que el fHP bajó la tendencia.
Probablemente fruto de este debate resurge en la literatura la necesidad de conocer con más detalle las propiedades del FHP, dando lugar a lo que llamaremos la segunda generación de críticas.
b3) Segunda generación de críticas
-Sobre el tema de los ciclos y tendencia espurias, Hamilton (2017) calcula una expresión de \(\Psi\) donde demuestra que los ciclos que éste obtiene son enteramente una función del parámetro lambda (λ), y de la implementación de la cuarta diferencia (\({\Delta ^4}\)) a valores pasados y futuros de la serie. Así los sesgos del fHP tendrían su origen en la sobre-diferenciación \(({\Delta ^4}\)) y la inclusión de factores ajenos a las características de las series en tiempo real (λ y los valores futuros).
Phillips y Jin (2015), a su vez, analizan las propiedades asintóticas del fHP para diferentes combinaciones de λ→∞ y n→∞. Sugieren un orden de convergencia del fHP de \(\lambda = O({n^4})\), y que en este escenario esta técnica no remueve la tendencia estocástica, sino una versión suavizada de la misma, factor que explicaría los ciclos espurios de este filtro.
de Jong y Sakarya (2016a,b), entre otros resultados, concluyen que las estimaciones del fHP para series integradas son "débilmente dependientes", es decir no son estrictamente estacionarias: la \(Cov({Y_t},{Y_{t + h}}) \to 0\) sólo en tanto \(h \to \infty\). También sugieren que el fHP es incapaz de remover tendencias determinísticas exponenciales, por lo que no sería aconsejable su aplicación a series medidas en términos nominales.
-Sobre el factor de suavizamiento λ, Hamilton (2017) plantea la no optimabilidad del valor λ=1600, en el sentido que ésta no maximiza la función de verosimilitud de los datos. Sin embargo, de Jong y Sakarya (2016a) sugieren que en muestras grandes podría usarse los valores de Ravn y Uhlig (2002), λ=1600 y 129600 para datos trimestrales y mensuales, respectivamente.
-Respecto al problema del sesgo en los extremos, Cornea-Madeira (2017) y de Jong y Sakarya (2016a) obtienen expresiones exactas para los pesos \({{w_t}}\), enfatizando la diferencia de los mismos a lo largo de la serie con los extremos.
-Finalmente, mencionar que Hamilton (2017) plantea una alternativa: estimar la regresión de \({Y_{t + h}} = {\beta _0} + {\beta _1}{Y_t} + {\beta _2}{Y_{t - 1}} + {\beta _3}{Y_{t - 2}} + {\beta _4}{Y_{t - 3}} + {\nu _{t + h}}\) y utilizar los residuos como una estimación del componente cíclico (para datos trimestrales sugiere h=8).
c) Entonces, qué filtro deberíamos utilizar?
Phillips y Jin (2015), a su vez, analizan las propiedades asintóticas del fHP para diferentes combinaciones de λ→∞ y n→∞. Sugieren un orden de convergencia del fHP de \(\lambda = O({n^4})\), y que en este escenario esta técnica no remueve la tendencia estocástica, sino una versión suavizada de la misma, factor que explicaría los ciclos espurios de este filtro.
de Jong y Sakarya (2016a,b), entre otros resultados, concluyen que las estimaciones del fHP para series integradas son "débilmente dependientes", es decir no son estrictamente estacionarias: la \(Cov({Y_t},{Y_{t + h}}) \to 0\) sólo en tanto \(h \to \infty\). También sugieren que el fHP es incapaz de remover tendencias determinísticas exponenciales, por lo que no sería aconsejable su aplicación a series medidas en términos nominales.
-Sobre el factor de suavizamiento λ, Hamilton (2017) plantea la no optimabilidad del valor λ=1600, en el sentido que ésta no maximiza la función de verosimilitud de los datos. Sin embargo, de Jong y Sakarya (2016a) sugieren que en muestras grandes podría usarse los valores de Ravn y Uhlig (2002), λ=1600 y 129600 para datos trimestrales y mensuales, respectivamente.
-Respecto al problema del sesgo en los extremos, Cornea-Madeira (2017) y de Jong y Sakarya (2016a) obtienen expresiones exactas para los pesos \({{w_t}}\), enfatizando la diferencia de los mismos a lo largo de la serie con los extremos.
-Finalmente, mencionar que Hamilton (2017) plantea una alternativa: estimar la regresión de \({Y_{t + h}} = {\beta _0} + {\beta _1}{Y_t} + {\beta _2}{Y_{t - 1}} + {\beta _3}{Y_{t - 2}} + {\beta _4}{Y_{t - 3}} + {\nu _{t + h}}\) y utilizar los residuos como una estimación del componente cíclico (para datos trimestrales sugiere h=8).
c) Entonces, qué filtro deberíamos utilizar?
Existen muchas técnicas para extraer el componente cíclico de una serie. En economía las más conocidas además del fHP son: la descomposición de Nelson-Beveridge (NB), el filtro de Baxter y King (fBK), y el filtro de Cristiano y Fitzgerald (fCF), entre otros; véase Canova (2007, Cap. 3) para una revisión de las mismas.
Ahora, la respuesta al título de esta sección no es muy clara. Es necesario en la literatura un trabajo contundente que evalúe al mismo tiempo las propiedades de estas técnicas bajo múltiples escenarios. Un intento en este sentido es Estrella (2007) quien concluye que ningún método se desempeña adecuadamente en todos los casos. Para el caso de interés, series I(1), Estrella sugiere que los filtros son semejantes en su propensión a sobre-estimar la tendencia. El análisis comparativo de Larsson y Vasi (2012) concluye de igual manera que para datos trimestrales los productos de los filtros fHP, fBK y fCF son similares. Por otro lado, analizando la serie del PIB real de Estados Unidos, Perron y Wada (2009) encuentran estimaciones símiles del fHP y fBK, una vez considerada la posibilidad de quiebre estructural.
Entonces, si la evidencia existente apunta a que los filtros producirían resultados semejantes, éstos deberían de alguna manera reproducir los problemas mencionados para el fHP en párrafos anteriores. Evidencia al respecto se encuentra en Murray (2003), quien alude sesgos en el filtro de Baxter y King (fBK) para series con tendencia estocástica, mientras que Smith (2016) concluye lo mismo para el caso del filtro de Cristiano y Fitzgerald (fCF).
Por todo lo mencionado, se precisa cautela al momento de extraer conclusiones basadas en la aplicación de estas técnicas. Si el objetivo es estimar el producto potencial, se debería implementar diferentes filtros, comparar sus resultados, y éstos resultados deberían complementarse con estimaciones basadas en otros enfoques como el de la función de producción, u otras técnicas multivariadas; véase D'Auria (2010), Claus (2003), Benes et. al. (2010). Sin embargo, es necesario en la literatura un trabajo contundente que evalúe al mismo tiempo y bajo múltiples escenarios, las propiedades de los filtros estadísticos tradicionales, así como de otras propuestas existentes no tan conocidas al no ser ofrecidas en los softwares habituales, como la de Valle (2011), Kauermann et. al. (2011), Hamilton (2017), etc., por ejemplo.
Ahora, la respuesta al título de esta sección no es muy clara. Es necesario en la literatura un trabajo contundente que evalúe al mismo tiempo las propiedades de estas técnicas bajo múltiples escenarios. Un intento en este sentido es Estrella (2007) quien concluye que ningún método se desempeña adecuadamente en todos los casos. Para el caso de interés, series I(1), Estrella sugiere que los filtros son semejantes en su propensión a sobre-estimar la tendencia. El análisis comparativo de Larsson y Vasi (2012) concluye de igual manera que para datos trimestrales los productos de los filtros fHP, fBK y fCF son similares. Por otro lado, analizando la serie del PIB real de Estados Unidos, Perron y Wada (2009) encuentran estimaciones símiles del fHP y fBK, una vez considerada la posibilidad de quiebre estructural.
Entonces, si la evidencia existente apunta a que los filtros producirían resultados semejantes, éstos deberían de alguna manera reproducir los problemas mencionados para el fHP en párrafos anteriores. Evidencia al respecto se encuentra en Murray (2003), quien alude sesgos en el filtro de Baxter y King (fBK) para series con tendencia estocástica, mientras que Smith (2016) concluye lo mismo para el caso del filtro de Cristiano y Fitzgerald (fCF).
Por todo lo mencionado, se precisa cautela al momento de extraer conclusiones basadas en la aplicación de estas técnicas. Si el objetivo es estimar el producto potencial, se debería implementar diferentes filtros, comparar sus resultados, y éstos resultados deberían complementarse con estimaciones basadas en otros enfoques como el de la función de producción, u otras técnicas multivariadas; véase D'Auria (2010), Claus (2003), Benes et. al. (2010). Sin embargo, es necesario en la literatura un trabajo contundente que evalúe al mismo tiempo y bajo múltiples escenarios, las propiedades de los filtros estadísticos tradicionales, así como de otras propuestas existentes no tan conocidas al no ser ofrecidas en los softwares habituales, como la de Valle (2011), Kauermann et. al. (2011), Hamilton (2017), etc., por ejemplo.
REFERENCIAS
-Benes, J., K. Clinton, R. Garcia-Saltos, M. Johnson, D. Laxton, P. Manchev and T. Matheson. (2010). "Estimating Potential Output with a Multivariate Filter". IMF Working Paper, WP/10/285.
-Canova, F. (2007). "Methods for Applied Macroeconomic Research". Princeton University Press.
-Claus, I. (2003). "Estimating potential output for New Zealand". Applied Economics, 35.
-Cogley, T., and J. M. Nason (1995). "Effects of the Hodrick-Prescott Filter on Trend and Difference Stationary Time Series: Implications for Business Cycle Research" Journal of Economic Dynamics and Control, 19(1-2).
-Cornea-Madeira, A. (2017). "The Explicit Formula for the Hodrick-Prescott Filter in Finite Sample" Review of Economics and Statistics, 99(2).
-D'Auria,F., C. Denis, K. Havik, K. McMorrow, C. Planas, R. Raciborski, W. Röger and A. Rossi (2010). "The production function methodology for calculating potential growth rates and output gaps". Economic Papers 420, European Comission.
-de Jong, R., and N. Sakarya (2016a). "The Econometrics of the Hodrick-Prescott Filter" The Review of Economics and Statistics 2016 (98)2.
-de Jong, R., and N. Sakarya (2016b). "A property of the Hodrick-Prescott Filter and its application". Job market paper.
-Estrella, A. (2007). "Extracting Business Cycle Fluctuations: What Do Time Series Filters Really Do?". Federal Reserve Bank of New York Staff Report 289
-Hamilton, J.D. (2017). "Why You Should Never Use the Hodrick-Prescott Filter". NBER Working Paper No. 23429.
-Hodrick, R. J. and E.C. Prescott (1980). "Postwar US business cycles: an empirical investigation". Carnegie Mellon University discussion paper, 451.
-Hodrick, R. J. and E.C. Prescott (1997). "Postwar US business cycles: an empirical investigation". Journal of Money, Credit, and Banking, (1)16.
-Kauermann, G., T. Krivobokova, W. Semmler (2011). "Filtering Time Series with Penalized Splines". Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics, 15(2).
-King, R.G. and S.T. Rebelo (1993). "Low frequency filtering and real business cycles". Journal of Economic Dynamics and Control 17(1).
-Larsson, G., and T. Vasi. (2012). "Comparison of detrending methods". Department of statistics, Uppsala University.
-Meyer, M. and P. Winker (2005). "Using HP Filtered Data for Econometric Analysis: Some Evidence from Monte Carlo Simulations". Allgemeines Statistisches Archiv, Springer (89).
-Mise, E., Kim, T.-H. and Newbold, P. (2005). "On suboptimality of the Hodrick-Prescott Fi lter at time series endpoints". Journal of Macroeconomics (27).
-Murray. C.J. (2003). "Cyclical properties of Baxter-King filtered time series". The Review of Economics and Statistics, 85(2).
-Perron, P. and, T. Wada. (2009). "Let’s take a break:Trends and cycles in US real GDP". Journal of Monetary Economics (56).
-Phillips, P.C.B., and S. Jin (2015). "Business Cycles, Trend Elimination, and the HP Filter". Working paper, Yale University.
-Smith, J. (2016). "Spurious Periodicity in Christiano-Fitzgerald Filtered Time Series". University of Houston
-Ravn, M. O. and H. Uhlig (2002). "On adjusting the Hodrick-Prescott filter for the frequency of observations". Review of Economics and Statistics 84(2).
-Valle e Azevedo, J. (2011). "A multivariate band-pass filter for economic time series". Applied Statistics 60.
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-D'Auria,F., C. Denis, K. Havik, K. McMorrow, C. Planas, R. Raciborski, W. Röger and A. Rossi (2010). "The production function methodology for calculating potential growth rates and output gaps". Economic Papers 420, European Comission.
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-Valle e Azevedo, J. (2011). "A multivariate band-pass filter for economic time series". Applied Statistics 60.
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